台北にいつ到着するかにもよりますが、深夜に到着した場合、夜市などがあるもののほとんど閉店しているためあまり楽しめません。
深夜に到着した場合、おとなしくホテルで寝ましょう。

朝や昼、夕方に到着した場合は台北を楽しめます。
夕方に到着し、ホテルなどに夜8時頃までに到着すれば、そこから夜市に行って楽しむことができます。他の都市と同様にこのくらいの時間になるとほとんどのお店などは閉まっているので楽しめませんが、夜市ならまだ楽しめます。

例えば夜9時頃、士林夜市にタクシーやMRTで行き、数時間楽しみホテルに戻ってくるだけでも十分楽しめます。

夕方6時などにホテルなどに到着すれば、街中を十分楽しめます。例えば、台北駅の周辺や西門などは人が賑わっており十分楽しめます。
その後、夜市や有名店に行くのもいいでしょう。

夕方3時頃にホテルに到着した場合、ホテルなどにもよりますが、チェックイン時間なので、タイミングは非常に良いかと思われます。
ホテルでしばらくゆったりした後、西門のような繁華街などに行くなど、ある程度自分の行きたいところなどにも余裕を持っていくことができます。

それよりも早く到着した場合、荷物をホテルでしばらく預かってもらい、どこかへしばらく観光などをするのがいいでしょう。

翌日朝の楽しみ方です。

早朝発の場合はほとんど楽しむことなく出発することになります。

ホテルを8時頃出発すればいいなら、朝食で有名な店などがあり、早い店は5時から開いているので、そこに行くのがいいでしょう。
出発が夕方や夜になるなら一日普通に観光できます。

空港まではバスやタクシーなどで1時間くらいですが、渋滞することがあるので新幹線などで行くのもいいですが、バスに比べて早いわけではありません。
一般的に飛行機出発の3時間前に台北を出発するスケジュールで行きたいところを決めましょう。