これは要するに、飛行機を乗り継ぐ細かな違いを表す用語です。
世間的には全てトランジットという言葉の方でまとめてしまう場合が多いですが、実際にはそれぞれの言葉は異なります。

トランジット
例えば、成田からタイに行く場合、成田発タイ行きの直行便に乗ればいいですが、安いチケットなどを探すと、香港などで乗り継ぐことがあります。

ここで、成田発、香港経由、タイ行きという航空券があり、全ての行程が同じ飛行機を使う場合、トランジットになります。
成田でタイまで行く搭乗券を発券し、預け入れ荷物もタイまで直行。
途中の香港では、通常一旦飛行機から降りて、香港の空港で待つことになります。
香港が最終目的地の方もいますし、香港から乗ってくる人もいるためです。

場合によっては飛行機に乗ったままでいい場合もありますが、飛行機内などでの案内をしっかりと聞いておきましょう。

トランジット自体はよく聞く言葉ですが、実際にトランジットになることはそれほど多くはありません。

トランスファー
トランスファーは飛行機を乗り継ぐことです。
トランジットとの違いは、飛行機が変わることで、飛行機会社が変わる場合もあります。
トランスファーは空港などによって手続きが変わります。

例えば、韓国の仁川、香港などの空港は空港内でそのままトランスファーできます。
しかし、アメリカを経由する便は、最終目的地がどこの国であろうが、始めに到着したアメリカの空港で必ず入国審査を受ける必要があります。

トランスファーする場合は、最初の出発空港で最終目的地がどこの空港で荷物をどうするのかの手続きをしてもらいます。
一般的に、預け入れ荷物は最終目的地まで一切受け取らないで言いようにするのが便利です。しかし、アメリカのように一旦入国審査を受ける必要のある国では一度受け取り後、再度荷物を預ける必要があります。
入国審査を受ける際は、通常の入国と同じように手続きをうける必要があります。

空港内でトランスファーできる場合、飛行機を降りたら入国審査ではなく、トランスファー手続きをします。
トランスファー手続きをするには、まず到着エリアから、出発エリアに移動します。
ここでは手荷物検査があり、ここでパスポートや搭乗券を見せる必要があります。

ここでは、出発エリアに入れただけで、搭乗券を正式な物にする必要があります。
それには、最初の空港で受け取った次の飛行機の仮の搭乗券をトランスファーカウンターで正式な搭乗券にしてもらう必要があります。
乗る航空会社ごとにトランスファーカウンターは違うので、各航空会社のトランスファーカウンターを探し、そこでパスポート、初めの空港で受け取った仮の搭乗券、預け入れ荷物の番号が書かれた札を提示して正式な航空券にしてもらう必要があります。

ストップオーバー、レイオーバー
ストップオーバーは途中で24時間以上の滞在をすることを言います。一般的にこのストップオーバーはイギリス英語です。レイオーバーはアメリカ英語です。

24時間以内の滞在でもストップオーバーなどを言うこともありますが、通常は24時間以上の滞在での用語です。

一方で、仮に成田から、香港でストップオーバーしてタイに行くことを考えると、ストップオーバーで行くこともできますが、単に成田から香港、香港からタイへの航空券をそれぞれ別に購入することがあります。
この場合はストップオーバーやレイオーバーなどとは言いません。単に飛行機を乗り継いで旅行するだけです。